The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__zeros → cons(0, zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0) → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0, IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0) → 0
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
a__U11(tt, U11(tt, X2181_5)) →⁺ s(a__length(a__U11(tt, X2181_5)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X2181_5 / U11(tt, X2181_5)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, a__length, mark, a__U31, a__and, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11, mark, a__U31, a__and, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, mark, a__U31, a__and, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U31, a__and, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Induction Base:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(n151_0, 1))) →_R^Ω(1)
cons(mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)), 0') →_IH
cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(c152_0), 0')

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(14) Complex Obligation (BEST)

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U31, a__U11, a__length, a__and, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U31.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__U11, a__length, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U11, a__length, a__isNatList, a__isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNat.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatList, a__U11, a__length, a__isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatList.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatIList, a__U11, a__length

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatIList.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__U31
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__U31
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNat
a__U31 = a__isNatList
a__U31 = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList

(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(29) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(30) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

(31) BOUNDS(n^1, INF)

(32) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt) → nil
a__U31(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__isNatList(take(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
a__take(0', IL) → a__U21(a__isNatIList(IL))
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U31(a__and(a__isNatIList(IL), and(isNat(M), isNat(N))), IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3, X4)) → a__U31(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2, X3, X4) → U31(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
and :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31 → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U311_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U31

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(33) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:take:length:isNatIList:isNatList:isNat:and:U11:U21:U312_0(n151_0), rt ∈ Ω(1 + n151₀)

(34) BOUNDS(n^1, INF)